1. Bài toán diện tích: Từ đa giác đến giới hạn
Trong khi diện tích của các đa giác có thể tìm được bằng cách chia thành các tam giác, thì một vùng $S$ có biên cong cần một phương pháp khác biệt. Chúng ta định nghĩa Bài toán diện tích là tìm diện tích chính xác dưới một hàm liên tục, không âm $y = f(x)$ trên đoạn $[a, b]$.
Chia đoạn $[a, b]$ thành $n$ đoạn con có độ rộng bằng nhau $\Delta x = \frac{b-a}{n}$. Các điểm đầu mút là $x_0, x_1, \dots, x_n$.
Xây dựng $n$ hình chữ nhật. Sử dụng phương pháp điểm cuối phải ước lượng ($R_n$), chiều cao của hình chữ nhật thứ $i$ là $f(x_i)$. Diện tích tổng cộng là $A \approx \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$.
Khi $n$ tăng lên, sai số (khoảng trống giữa các hình chữ nhật và đường cong) sẽ biến mất. Diện tích chính xác $A$ được định nghĩa là giới hạn: $\displaystyle A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$.
2. Sự tương đương giữa khoảng cách và vận tốc
Bài toán khoảng cách hỏi: Vật thể di chuyển được bao xa nếu vận tốc của nó thay đổi theo thời gian? Nếu vận tốc là hằng số, $distance = velocity \times time$. Nếu nó thay đổi, ta coi nó như "hằng số cục bộ" trong các khoảng thời gian rất ngắn $\Delta t$.
"Càng đo vận tốc thường xuyên, ước lượng của chúng ta càng chính xác, vì vậy có vẻ hợp lý rằng khoảng cách thực tế $d$ đã đi là giới hạn của những biểu thức như vậy."
Ví dụ minh họa: $y = x^2$ trên $[0, 1]$ (Ví dụ 1)
Để ước lượng diện tích dưới parabol $y = x^2$ từ 0 đến 1 với $n=4$ bằng phương pháp điểm cuối phải:
- $\Delta x = (1-0)/4 = 0.25$
- $R_4 = 0.25 [f(0.25) + f(0.5) + f(0.75) + f(1)]$
- $R_4 = 0.25 [0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 1] = 0.46875$
Sử dụng điểm cuối trái ($L_4$) sẽ cho kết quả $0.21875$. Diện tích thực tế bị "bị kẹt" giữa hai giá trị này: $0.21875 < A < 0.46875$.